令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲
巳相距之逺为法除之得甲乙之逺是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙葢皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙
西法矩度测量
矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之
造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度【陈防庵止用一十度省一乘法】或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等
变景法
景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变爲直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乗【如矩度十二自乗得一百四十四为矩幂】以景度【即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之】为法除之【其变景之理详句股述】
直景必高多逺少如一象限人望四十五度【半象限九十度】以上权线必切直景
倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景
变景者变倒景之少度为直景之多度葢测物愈逺则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也
矩度测髙
直景以矩度乗逺得积实以景度为法除之
设所测不知其髙距所逺三十尺权线切直景八度法以矩度【十二】与逺【三十】相乗得三百六十为积实以直景八度为法除之【如筹算检八号筹视某格与积实近少除之】得四十五尺为矩乙角以上之髙即所测之髙是为以小句【景度】比小股【矩度】若大句【逺】与大股【髙】
倒景以景度乗逺得积实以矩度为法除之
设逺六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度【七】通五分之得【三十六】分以乗逺【六十】得积实二千一百六十以矩度【十二】通五分之得【六十】为法除之得三十六尺为矩乙角以上之髙【此倒景不必变但变其法以景度乘逺以矩度为法除之亦同】是为以小句比大句若小股与大股
重矩测髙【测髙先不知其逺则用重矩如重表测法】
前矩直景后矩直景以矩度乗表间得积实以两景较为法除之【表间即悬矩之干两矩相距之间】
设前直景【五度】后直景【十度】两矩相距【十尺】法以矩度【十二】乗表间【十尺】得【一百十尺】 为实以两景较【五度】为法除之得二十四尺为矩乙角以上之髙以小句比小股若大句与大股同前首条
前矩直景后矩倒景以矩度乗表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之
设前直景【十一度】后倒景【九度】两矩相距【二十二尺】法以矩度【十二】乗表间二十得【二百四十】为积实又以倒景【九度】为法除矩幂【一百四十四】得变景十六与前矩直景较余【五】为法除积实得【四十八】为矩乙角以上之髙是为以小句【景较】比小股【矩度】若大句【表间相距】与大股【所测之髙】
前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乗表间得积以两变景较为法除之得所测之髙仝前按测望即容方求余句余股法其矩测之倒景必变者葢立表测髙人目退望使参相直若所测愈髙则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈逺表即容方之边而人目退望之处即余句也今矩之甲角愈髙则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之余句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乗逺以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正
测逺
按测无髙之逺先用重矩测得髙【巳壬】次以矩度【甲】为一率以后矩所变之
景【乙戊】为二率以高【巳壬】为三率即得四
率之逺是为以小股【甲乙】比小句【乙戊】若大股【巳壬】与大句【壬乙】
右高【巳壬】得四八变景【乙戊】得一六矩度【甲乙】十二度依三率法得逺六十四葢倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例
以测髙法还原
设逺【六十四尺】倒景【一六】矩度【一二】以矩度乗逺【六四】以变景度【一六】为法除之得高【四八】与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之逺西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图
测深
设井口或径广十二尺求至水面深几何
用矩度视深【辛】使甲巳辛叅相直
视权线在直景乙戊【三度】以矩度【十二】
乘等庚巳之辛壬水面【十二尺】得【一百四十四尺】为实以乙戊【三度】为法除之得【巳壬】深【四十八尺】是为以【乙戊】比【乙甲】若【壬辛】与【壬巳】
设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何
权线切倒景丁戊【三度】依法变为直景【四十八度】以乗巳壬【十三尺】得【六百二十四尺】为实以甲乙矩度【十二】为法除之得庚巳广【五十二尺】是为以甲乙比乙癸若巳壬与等【壬辛】之巳庚
又倒景不变以矩度乘【巳壬】得积以倒景丁戊【三度】为法除之亦得巳庚广【五十二尺】
按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乗深而矩度为法除之若在倒景则矩度乗深而景度为法除之固两不相混也至于测髙则必矩度乗取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也
附三率算术
古名异乗同除西法变为三率
原有丁戊股十四尺
丙戊句十一尺二寸
今截丁乙股十尺
求乙甲截句几何
西法三率
一率 【以】原有股十四尺 为法
二率 【比】原有句十一尺二寸 【相乗为实】三率 【若】今截股十尺
四率 【与】求得截句八尺 法除实所得术以原股比原句若截股与截句
凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率
二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率
按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加宻矣
勾股引卷三
钦定四库全书
勾股引蒙卷四
海宁 陈訏 撰
三角法
八线全图
【周天三百六十度两分之为半
周四分之为一象限 每一象
限各九十度又名弧度六】
凡正方角【乙】即直角即象限之角其所对弧必九十度
凡在一象限不及九十度者为鋭角【如丙】
凡过一象限多于九十度者为钝角
凡言角以中一字为所指之角【如甲乙癸】
凡求某角者求其角之对弧度与分
凡求某角即本角之弧矢割切为正其外为余凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无増减常为十万弧中旋转可如如句
凡正角以半径全数为正
凡钝角以外角之正余为正余
直角【即正方角一名勾股形】
有角有边求余角余边【直角之一】
假如【壬癸丁】勾股形有丁角【五十七度】壬丁【九十一丈八尺】求余角余边
先求癸丁边
术曰以半径全数比丁角之余
若壬丁与癸丁句
一率【原设】半径一○○○○○ 为法二率【原设句】丁角【五十七度】余五四四六四 【相乗】三率【今有】壬丁边 九十一丈八尺 【为实】四率【今所求句】癸丁边 五十丈【法除实得所求】右三率法后同 半径即乙丁余即甲丁
求壬癸边
以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一率【原设】半径一○○○○○
二率【原设股】丁角【五十七度】正 ○八三八六七
三率【今有】壬丁边九十一丈八尺
四率【所求股】壬癸边七十七丈
求壬角
以丁角五十七度与象限九十度相减得余三十三度为壬角
右例先得以求勾股
假如【壬癸丁】勾股形有丁角【六十二度】癸丁勾【二十四丈】求余角余边
求壬角
以丁角【六十二度】与象限相减得余【二十八度】为壬角 平面弧止容一正方角两鋭角今既有勾股形【癸】则于一象限内减丁角之度其余度自必壬角
戊丙丁勾股形以戊丙
切线为股丙丁半径为
勾戊丁割线为是丁
角原有之线 今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等
求壬丁边
以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁
一率【原设勾】半径 一○○○○○二率【原设】丁角【六十二度】割线 二一三○○五
三率【今有勾】癸丁边二十四丈
四率【所求】壬丁边五十一丈一尺
求壬癸边
以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股
一率【原设勾】半径 一○○○○○二率【原设股】丁角【六十二度】切线 一八八○七三
三率【今有勾】癸丁边二十四丈
四率【所求股】壬癸边四十五丈一尺右例先得勾以求及股或先得股以求及勾亦同
按半径随弧旋转无有増减故可为为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例
有边求角【直角之二】
假如【壬癸丁】勾股形有壬丁【一百○二丈二尺】癸丁勾【四十八丈】求二角一边
求丁角
以丁壬比癸丁勾若半径乙丁与丁角之余甲丁
一壬丁边一百○二丈二尺
二癸丁边○四十八丈
三半径 一○○○○○
四丁角余 四六九六六
以所得余检表得六十二度为丁角度
右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余为四率者盖若求正正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余【甲丁】与正割【壬丁】之例然余尚未求得又无可为比故以壬丁比癸丁句若乙丁之半径与甲丁勾之丁角余相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数歴然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣
求壬角
以丁角六十二度与象限相减得余二十八度为壬角
求壬癸边
以半径比丁角之正若壬丁与壬癸股
一半径一○○○○○
二丁角【六十二度】正 ○八八二五九
三壬丁边 一百○二丈二尺
四壬癸边 ○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜为比而正如股半径旋转如可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股邉为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法
假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角
求癸角
以壬丁大边与丁癸边相加得【一百
六十二丈】为总又相减得【五十丈】为较以
较乘总得【八千一百丈】为实以壬癸边
【九十丈】为法除之仍得【九十丈】与壬癸
边数等即知癸角为正方角
求丁角
以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线
一丁癸勾五十六丈
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