米一石积数二千五百寸为率一石为二率现得之倚壁外角尖圆堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有余即倚壁外角所堆之米数也
【一率二五 二率一 三率二三一九二九七二八八四率九二四三七一八】
各等面体
设四面体每边一尺二寸求积几何
法以每边一尺二寸为每边折半得六寸为勾求得股数为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半为每一面之面积又以每边一尺二寸为每一面之中垂线取其三分之二为勾求得股数为四面体自尖至底中心之立垂线或以每一面之中垂线数为每一面之中垂线取其三分之一为勾亦得股为四面体自尖至底中心之立垂线以此立垂线与每一面之面积数相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也
又求自尖至底中心之立垂线防法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方即得自尖至底中心之立垂线
又以正方体积一○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率现设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗为三率求得四率即四面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率一七八五一一二九三率一七二八 四率二○三六四六七五 ○】设四面体体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘问每边数几何
法以四面体积一 一七八五一 一二九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也
【一率一一七八五一一二九 二率一○○○○○○○○ 三率二○三六四六七五○ 四率 一七二八】
又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三毫三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一辶也
【一率一○○○○○○○○ 二率二○三九六四八九○三率二○三六四六七五○ 四率一二】设八面体每边一尺二寸求积几何
法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也又法以正方体积一○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率现设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率四七一四○ 四五二一 三率一七二八 四率八一四五八七○一二】设八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘问每边之数几何
法以八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也
【一率四七 一 四○四五二一 二率一○○○○○○○ ○ 三率八一四五八七○一二 四率一七三八】
又法以正方体之每一边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九毫二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也
【一率一○○○○○○○○ 二率一二八四八九八二九 三率九三三九二六 四率一二】设十二面体每边一尺二寸求积几何
法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七毫八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现设之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六毫四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八毫二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八毫二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二毫一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也
【一率六一八○三三九九 二率一○○○○○○○○ 三率一二 四率一九四一六四○七一率六一八○三三九九 二率一○○○○○○○○ 三率九七○八二○三 四率一五七八○八二○二】
又法以正方体积一○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率现设之十二面体之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二率七六六三一 一八九○三 三率一七二八 四率一三二四一 八六九四六四】
设十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每边数几何
法以十二面体积七六六三一 一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一边也
【一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○ 三率一三二四一八六九四六四 四率一七二八】
又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率现设之十二面体积开立方得数为三率求得四率即十二面体之每一边也
设二十面体每边一尺二寸求积几何
法以正方体积一○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率现设之二十面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六厘有余即二十面体之积也
【一率一○○○○○○○○ 二辛二一八一六九四九六九 三率一七二八 四率三七六九九六八九○六】
又法以二十面体之每边七七一○二五三四为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率现设之二十面体之每边数为三率求得四率为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗即二十面体之积也
【一率七七一○二五三四 二率一○○○○○○○○ 三率一二 四率一五五六三六九】设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边数几何
法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也
【一率二一八一六九四九六九 二率一○○○○○○○○ 三率三七六九九六八九○六 四率一七二八】
又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率现设之二十面体积开立方得数为三率求得四率即二十面体之每一边也
【一率一○○○○○○○○ 二率七七一○二五三四 三率一五五六三六九 四率一二】
庄氏算学卷四
钦定四库全书
庄氏算学卷五
淮徐海道庄亨阳撰
中西笔算
度量权衡
度法
丈 尺 寸 分 厘 毫 丝 忽 微 纎 沙尘埃 漠 模糊 逡巡 须防 瞬息 弹指刹那 六徳 虚空 清浄【俱逓以十析】
量法
石 斗 升 合 勺 撮 抄 圭【俱逓以十析】 粟【六粟为圭】
权衡
两 钱 分 厘 毫 丝 忽【俱逓以十析忽以下并与度法同】凡丈 石 两以上则为十 百 千 万【逓増十倍】 亿兆 京 垓 秭 穰 沟 涧 正 载 极
恒河沙 阿僧秖 那由他【不可思议无量数亿以下俱逓増万倍】
田法
顷【百畆为顷】畆【二百四十步为一畆】分【二十四步为分】步【方五尺为步】
斤法
斤【十六两为一斤】两【以下俱与权衡同】
里法
里【三百六十步为一里计一百八十丈】
厯法
周天【十二宫为周】宫【三十度为宫】度【六十分为度】分 秒 微 纎忽 芒 尘【俱逓以六十析】
日时
日【十二时又为二十四小时】时【八刻又为二小时】刻【十五分】分以下俱与前同
石法
石【积二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此系旧法如以尺度较仓积先将现用斗较准然后用为比例方得宻合也】
命位
凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘毫皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至于厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常列一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之列焉此又命位之最要者也
加法
加者命众数而总成也葢数始于一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之数则不以十进必足所命之分始进一位
减法
减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类【如千减千百减百之类】如或下数大于上数不足减则借前之一以减本位【加法由后而进前减法则借前而退后其理一也】前位作一防以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然数相减必先辩其多寡首位必大于减数始可其定位亦然原列之次为减余位
因乗
因乗者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于繁而无统此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乗数为法实列于上法列于下必使法实相当【如千对千百对百十对十单对单之类】按法乗实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乗者法实之一位统得数之二位【如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位纪之】法实相乗再以法乗者【即自乗再乗也】法实之一位统得数之三位【如单位后竒零有一位则截得数之三竒零有二位则截得数之六位向前为单位纪之】是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乗之类以三位论者则为自乗再乗之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左
开平方法
平方积者两数相乗所得之数也开之之法每方积
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