积二位得方边一位
法以自乗数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乗之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商亷隅之共积乃以初商之数倍之为亷法以除余积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与亷法数相加得数为亷隅共法书于余积之左以次商数乗之得数与次商亷隅共积相减减尽则已如有余数又为第三位以后积数商开之法与次商同
开带纵平方法
较法
法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也
又法以纵多折半自乗与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得濶于半和加半较得长也
较数纵平方有较无长濶和故四因积数与较自乗数相加得长濶和积开方为长濶和
和数纵平方有长濶和无长濶较故用和自乗得和积与四因积相减余数为较积开平方为长濶较
总之有长濶和有较者于和内加较折半为长减较折半为濶其理同也
和法
法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长濶相较之数以较数与和数相加折半为长减较即濶也
又法以和数折半为半和自乗与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为濶于半和加半较为长
开立方法
立方者自乗再乗所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方【此为自一至九自乗再乗数】为首位用各数自乗再乗为首位积以减通积余数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平亷其边与大方等其厚与次商数等有三长亷其长与大方等其寛厚皆与次商数等有一小隅系次商自乗再乗之数法以初商数自乗相因为三平廉面积与余积相商约得几倍【用为少之数】即定次位为几数然后以次商数与初商数相乗三因为三长亷面积又以次商自乗为小隅面积三数相并为平亷长亷小隅之共面积再以次商数乗之为磬折形通积以减余积减尽则止如有余数又为第三位以后积数开之之法与次商同
开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乗之数除首位积其余数为第二位以后积数次以首位数加倍为亷法以商余积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与亷法隅法相乗以减余积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同
田地顷畆分法
纵横方五尺为一步二百四十步为一畆一百畆为一顷凡地纵横相乗得积步得积步以二百四十步除之得畆数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得畆数【每边数一丈得积四步】再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺
正比例
以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乗一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类
庄氏算学卷五
钦定四库全书
庄氏算学卷六
淮徐海道庄亨阳撰
比例十法
一法正方
边求积【设正方边五十步问积数若干】
法以方边五十步自乗得二千五百步即正方积如系田地则以畆法二百四十除之得畆数二十四步为一分满一百畆为顷凡面积皆同
积求边
即开平方法
方求斜【设正方边五十尺求对角斜线】
法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分○六毫有余即对角斜线又倍积求边与此法同
斜求方【设对角斜线五十尺求正方边】
法以对角斜线五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺开平方得三十五尺三十五分五厘三毫有余即正方边○又正方积折半求方边与此法同
四倍积求边
法以方边数加倍即得
二法长方
边求积【设濶八尺长十二尺求长方积】
法以濶八尺与长十二尺相乗得九十六尺即长方面积
积求边
有长濶较或长濶和者用开带纵平方法算之有濶边者以濶数除积得长边有长边者以长数除积得濶边
更面【设长方形长十二尺濶八尺今将长积倍之仍与原长方同式问得长濶各几何】
法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘有余即所求之濶乃以原濶八尺为一率原长十二尺为二率今濶一十一尺三寸一分三厘为三率得四率一十六尺九寸七分有余即所求之长
三法斜方形【有两直角】
有边求积
法以上濶二十丈与下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形积数
有积数有长有上下两濶较求上下濶
法将积数加倍以长除之得数为上下两濶和加较折半得下濶减较折半得上濶
有积有上下濶求长
法将积加倍以两濶共数除之得数即所求之长梯形【算法与前斜方形同】
四法三角形
有中长有底濶求积【设底濶八十尺中长七十五尺问面积】
法以中长七十五尺与底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面积
有积数有底濶求中长【设三角形积三千尺底濶八十尺问中长】
法以积三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中长
有积数有中长求底濶
与前法同
勾股形
有边求积有积求边算法俱与三角形同葢三角形之中长即勾股形之股三角形之底为勾之两倍三角形积亦勾股形积之两倍俱得长方面之一半故全与全半与半为比其数相同
甲丙丁为三角形丙丁为底濶甲乙为中长甲丙乙为勾股形甲乙为股丙乙为勾甲丙为
五法鋭角钝角三角形【多边形附】
三角形求中垂线及面积【设三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺】
法以底二十一尺为一率两腰相加得二十七尺为二率两腰相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较【如图戊丙】与底二十一尺相减余十二尺【如图乙戊】折半得六尺【如图乙丁】乃用勾求股法以甲乙小腰十尺为自乗得一百尺为方乙丁六尺为勾自乗得三十六尺为勾方方内减去勾方余六十四尺开方得八尺为股即甲丁中垂线再以中垂线八尺与乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面积
凡十字正方角为直角大于直角者为钝角【如图甲角】不及直角者为鋭角【如图乙角丙角也】甲乙边为小腰甲丙边为大腰乙丙边为底戊丙为底较甲丁为中垂线
多边形
有边有对角斜线求面积
法依对角斜线分多边形为几形算之
六法两两等边无直角斜方形【此等形必有对角斜线方可命算】有边求积【设斜方形两小边皆二十五尺两大边皆三十九尺对两鋭角斜线五十六尺问面积】
法以对角斜线分斜方形为两三角形以对角斜线五十六尺为底大边三十九尺小边二十五尺为两腰用三角形求中垂线法【法载三角形条下】求得中垂线十五尺乃以对角斜线与中垂线相乗得八百四十尺即斜方形之面积
有勾有股求
法以股自乗得股方以勾自乗得勾方两自乗数相加开平方得数为
有勾有求股
法以勾自乗得勾方以自乗得方方内减勾方余数开平方得数为股
有股有求勾
法以股自乗得股方以自乗得方方内减股方余数开平方得数为勾
甲乙为对角斜线丁己与丙戊俱为中垂线
七法方环形
有边求积【设方环外周二十八丈内周一十二丈求面积】
法以外周二十八丈四归之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四归之得三丈自乗得九丈两自乗数相减余四十丈即方环面积
有积及濶求内外边【设面积四千尺濶二十尺求内外方边】
法以濶二十尺自乗得四百尺【如图之甲壬寅戊小正方】四因之【为四正方】得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺【壬戊子辛等四縦方共积】四归之得六百尺【一线方积】以濶二十尺除之得三十尺即内方边又以濶二十尺【如图甲壬】倍之【如甲壬并子丁】得四十尺加内方边三十尺【如戊辛与壬子等】得七十尺即外方边
有内外方边求边
法以外周二十八丈四归之得七丈【如图甲丁】又以内周一十二丈四归之得三丈【如图戊辛与壬子等】七丈与三丈相减余四丈【如图甲壬及子丁二段】折半得二丈即方环外周至内周之濶
八法圆面
径求周【设圆径一尺二寸】
法用周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率现设圆径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九毫有余即所求之圆周
周求径【设圆周一丈五尺】
法以周四三五五为一率径数一一三为二率现设圆周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六毫有余即所求之圆径
径求面积【设径八寸】
法用径求周法求得圆周二尺五寸一分三厘二毫七丝有余折半得一尺二寸五分六厘六毫三丝有余又将径八寸折半得四寸两折半数相乗得五十寸二十六分五十四厘八十二毫即所求之圆面积
又法用方周圆周定率比例以方周定率四五二为一率圆周定率三五五为一率现设圆径八寸自乗为三率求得四率即圆面积
周求面积【设圆周六尺六寸】
法用周求径法求得圆径二尺一寸零八毫四丝五忽折半得一尺○五分○四毫二丝二忽又将周六尺六寸折半得三尺三寸两折半数相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八毫即所求之圆面积又法用圆周方积与圆积定率比例以圆周方积一○○○○○○○○为一率圆积七九五七七四七为二率现设之圆周六尺六寸自乗为三率求得四率即圆面积
圆面积求径【设圆面积六尺一十六寸】
法用圆周方周定率比例以圆周二五五为一率方周四五二为二率现设之圆面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十三毫为正方面积开方得二尺八寸○五毫有余即所求之圆径
圆面积求圆周【设圆面积六尺一十六寸】
法用圆积求径法求得圆径二尺八寸零五毫有余又用圆径求周法求得八尺七寸九分八厘有余即圆之周数
九法撱圆【一名鸭蛋形】
径求面积【设大径九尺小径六尺问面积】
法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方积圆积之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六为二率长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有余即所求撱圆形之面积
积求径【设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大径九尺问小径】
法用圆积方积之定率比例以圆积七八五三九八 一六为一率方积一○○○○○○○○为二率现设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圆形之小径如有小径求大径则以小径数除长方积得数即大径
十法圆环形
圆环形有内外周及濶求面积【设外周二十一尺三寸内周七尺一寸濶二尺二寸六分问面积】
法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积
圆环形有内外径求面积
法用圆径求周法以内径数求得内周外径数求得外周又以内径与外径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即径
圆环形有内外周求面积
法用圆周求径法以内周数求得内径外周数求得外径乃以两径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即得
圆环形有面积及濶求内外径【设面积四百六十二尺濶七尺求内外径】
法以濶七尺除面积得六十六尺即内外周相并折半之数为中周【如图戊己周】乃用周求径法求得径二十一尺有余为内外径相并折半之数为中径【如图戊己径】加濶七尺得二十八尺有余即外径中径内减濶七尺余十四尺有零即内径
圆环形有面积及濶求内外周
依前法求得内外径再用径求周法算之即得
圆环形有面积及内周求外周并濶【设面积三尺三十六寸内周一尺一寸】
法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一毫有余又用周径求积法求得内周圆面积九寸六十二分七十七
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
