二壬癸股九十丈
三半径 一○○○○○
四丁角切线 一六○七一四
以所得切线检表得五十八度○六分为丁角
有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线
求壬角
以丁角【五十八度○六分】与象限相减得余三十一度五十四分为壬角
右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边
鋭角
有两角一边求余角余边【鋭角之一】
假如【乙丙丁】鋭角有丙角【六十度】丁角【五十度】丙丁边【一百二十尺】
求乙角
以丙角【六十度】丁角【五十度】相并得【一百一十
度】以减半周一百八十度余七十度
为乙角
右丙角丁角有度而无边乙角有边
而无度先以两角之度除半周而乙
角之弧度得矣既得乙角之度即可
以乙角之线比乙角相对之边若他
角之线与他角之边
求乙丁边
以乙角正比丙丁边若丙角正与乙丁边一乙角【七十度】正 九三九六九
二丙丁边【即乙角对边】 一百二十尺
三丙角【六十度】正 八六六○三
四乙丁边【即丙角对边】 一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同
求乙丙边
以乙角正比丙丁边若丁角正与乙丙边一乙角【七十度】正 九三九六九
二丙丁【乙角对边】 一百二十尺
三丁角【五十度】正 七六六○四
四乙丙【丁角对边】 ○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同
有一角两边求余角余边【鋭角之二】
假如【甲乙丙】鋭角形有丙角【六十度】甲丙边【八千尺】甲乙边【七千○三十四尺】
求乙角
以甲乙边比甲丙边若丙角正
与乙角正
一甲乙边七千○三十四尺
二甲丙边八千尺
三丙角【六十度】正 八六六○三
四乙角正 九八四九六
检表得八十度○三分为乙角
凡角俱有正下垂角小亦小角大亦大依割线之低昻也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大于丙角故以小边比大边亦若正小之比大而可得角也此以小比大也
求甲角
以丙角乙角相并得【一百四十度○三分】以减半周余三十九度五十七分为甲角
求乙丙边
以乙角之正比甲角之正若甲丙边与乙丙边
一乙角【八十○度三分】正 九八四九六二甲角【三十九度五十七分】正 六四二一二
三甲丙【乙角对边】 八千尺
四乙丙【甲角对边】 五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正从甲下垂故长甲角以甲丙为底正从乙下垂故短今乙丙边小于甲乙甲丙之两边故以最大之邉比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正为例也
右例有两边一角而角与一边相对
假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角【六十度】角在两边之中不与边对求甲乙边
先求中长线分为两勾股形
以半径比丙角正若甲丙边
与甲丁中长线
【此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及
分形之角】
一半径 一○○○○○
二丙角【六十度】正○八六六○三
三甲丙边四百尺
四甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分
求丙丁边【求中长线专为分边而求】
以半径比丙角余若甲丙边与丙丁边
一半径一○○○○○
二丙角【六十度】余 ○五○○○○
三甲丙边 四百尺
四丙丁边 二百尺
求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线余限于正而不越于正之外与丁丙分边限于中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边
求乙丁边
以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁
求丁甲乙分角
以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线
一甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分二乙丁分边○六十一尺○八分
三半径一○○○○○
四甲分角切线 ○一七六三三
检切线表得一十度为甲分角
右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度
求甲乙边
以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边
一 半径 一○○○○○
二 甲分角【十度】割线 一○一五四三
三 甲丁中长线三百四十六尺四寸一分
四 甲乙边三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边
求甲全角
以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角
求乙角
以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】
右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股
用切线分外角【梅本新増】
假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度
求甲角
以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角【六十度】减半周得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角
一两边总 六百六十一尺○八分二两边较 一百三十八尺九寸三分三半外角切线 一七三二○五
四半较角切线 ○三六三九七
检切线表得二十度为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度
求乙角
以甲丙二角相并共【一百度】以减半周得余八十度为乙角
求甲乙边
以甲角【四十度】正 六四二七九
比丙角【六十度】正 八六六○三
若乙丙边 二百六十一尺○八分
与甲乙边 三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角葢一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长鋭于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左
此平三角借弧以明其理
若弧三角所容三角不止
三个如平方立方有面体
之别后同
有三边求角【鋭角之三】
假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】
求两勾相减之数为勾较
任以【乙丙】大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形
一甲丁丙形以甲丙边为丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为丁乙为勾两相并为总相减为较 两勾相并【即乙丙边原数】为勾总 求戊丙勾较
以勾总比总若较与勾较
一两勾之总【即乙丙】 二十丈
二两之总三十丈○六尺三寸五分三两之较四丈五尺三寸五分四两勾之较【即丙戊】 六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余然余长短必限于正今甲丁中垂线即丙角之正今若求丙角余又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余等以之比例而得丙角之余即查表得丙角之度
求分形之两勾
以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形
又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分 即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形
求丙角
以甲丙比丁丙勾若半径与丙角余
一甲丙边一十七丈五尺八寸五分二丁丙分边 一十三丈四尺七寸三分三半径 一○○○○○
四丙角余 ○七六六一六
检余表得丙角四十度
求甲角
先求分形大半之甲角
以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形甲角
次求分形小半之甲角
以甲乙比丁乙勾若半径与分形甲角之正一甲乙边 一十三丈○五寸
二丁乙分边○六丈五尺二寸七分
三半径一○○○○○
四甲分角正 ○五○○一五
【以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正】
检正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角并分形两甲角【先得五十度次得三十度】得共八十度为甲全角
求乙角
并丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角
钝角
有两角一边求余角余边【钝角之一】
假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】
求丁角
以丙丁二角并共【六十度半】以减
半周得余一百一十九度半为丁
钝角
求乙丙边
以丙角正比丁角正若乙丁边与乙丙边一丙角【三十六度三十分】正 五九四八二二丁角【一百十九度三十分】正 八七○三六
三乙丁边五十四丈
四乙丙边七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角同
求丁丙边
以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一丙角【三十六度三十分】正 五九四八二二乙角【二十四度】正 四○六七四
三乙丁边五十四丈
四丁丙边三十六丈九尺二寸
凡钝角以外角之正为正盖即
此钝角之外角也如图丁为钝角乙
丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角
之外角至于正皆以本角之勾为
底以割线【半径同】与弧之相界处直线
垂下与本角之底为正方直角如图
乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角
之割线夘丁如外角之余而夘乙
则外角之正也至如丙角以丙丁
为底其正丑丁近乙丁边乙角以
乙丙为底其正子丁近乙丙边也
补图明之
有一角两边求余角余边【钝角之二】
假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺
【前则用他角求钝角此则用钝角求他角】
乙角为钝角
甲丙为钝角所对之弧度
乙丁为丙角正
甲戊为钝角用外角之正
求丙角
以甲丙边比甲乙边若乙角正与丙角正
一甲丙边四千尺
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