线己丑为半较角切
线己辛为半较角】
新式三边求角【钝角之三】
假如【乙丙丁】钝角形有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】
右有边无角
术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形【乙甲丁】之乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较
先求勾总
此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余然丁角以乙丁为半径则乙甲为正而余应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余故必先求甲丁勾始与丁角余相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之余以查表而得丁角也
一勾较【即丁丙边】 三百尺
二较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺
三总【即乙丁乙丙二边相并】 九百八十二尺四勾总【即丁辛】七百五十九尺四寸以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙
以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁
求丁角
以乙丁比丁甲勾若半径与丁角之余一乙丁 六百○七尺
二甲丁勾 五百二十九尺七寸
三半径一○○○○○
四丁角余○八七二六五
检表得丁角二十九度一十四分
求丙角【用乙甲丙小形】
钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此钝角丙之外角割线
以甲丙勾比乙丙若半径与丙角之割线一甲丙勾 二百二十九尺七寸二乙丙 三百七十五尺
三半径一○○○○○
四丙角割线一六三二五六
检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半径可勾可股可顾随所取用耳
求乙角
并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角
右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同鋭角之三
补图 乙丙丁三角形 乙己为丙角
弧度 乙辛为丙外角 丙戊
即【乙丙】为丙外角割线 乙壬壬
辛为外角之丁角乙角
乙甲即中长线 乙甲丙即小
形勾股 乙甲丁即大形勾股
乙丙即虚勾虚股之 戊辛
为切线
右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为髙度其髙度之正线即平度之余线而髙度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也
勾股引防卷四
钦定四库全书
勾股引卷五
海宁 陈訏 撰
象限线度总目
正 正切 正割 正矢【以余减全】
余 余切 余割 余矢【以正减全】
平度【正线即髙度余线】髙度【正线即平度余线】
初
一八八
二八七
三八六
四八五
五八四
六八三
七八二
八八一
九八十
十七九
十一 七八
十二 七七
十三 七六
十四 七五
十五 七四
十六 七三
十七 七二
十八 七一
十九 七十
二十 六九
二一 六八
二二 六七
二三 六六
二四 六五
二五 六四
二六 六三
二七 六二
二八 六一
二九 六十
三十 五九
三一 五八
三二 五七
三三 五六
三四 五五
三五 五四
三六 五三
三七 五二
三八 五一
三九 五十
四十 四九
四一 四八
四二 四七
四三 四六
四四 四五
求弧度之分秒
如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乗六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙,卷五>
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原>
钦定四库全书 子部六
勾股矩测解原 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案勾股矩测解原二卷
国朝黄百家撰百家有体独私抄已着録是书言勾股测望并详绘矩度之形与徐光啓天学初函矩度表説大防相同而此书専明一义其説尤详考勾股测望自古有之其法或用方矩或立矩表或用重矩引绳如表以测髙深广逺所不能至者总以近者小者与逺者大者相准世刘徽海岛筭经即此法也
本朝
御制割圜八线表出又仪器制作悉备始有三角形测量盖测量用三角度低昻甚便步筭检表数密而功省虽其理与勾股无殊而径捷简易则不可同日而论矣然必仪与表兼备而后其术可施苟缺其一即精于是术者无从措手故勾股之法亦不废也是书虽仅具古法亦足备测量之资焉乾隆四十六年三月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
句股矩测解原卷上 余姚黄百家撰
矩度图
解矩度
或木或铜锡类制极方板一具【不拘大小】空其中【不空亦可】其四角分甲乙丙丁甲乙边为直表为股乙丙边为直景平分十二度【一度中又各细分十二度】为句甲丁边为横表为句丁丙边为倒景为股亦平分十二度直表上作两耳【须极平正不可畧髙低】耳中作细窍甲角置线一条末系小权用时使目光透两窍与物顶相对视权线之下垂所得度分以起算测髙以乙耳近目测低以甲耳近目
解表影
凡欲用矩度必须知造矩度之源矩度之起由乎表表之起由乎日影故先论表影立直表地上其表为股其影为句日自东而上影向西自西而下影向东皆在平地是名直影立横表东西墙上其表为句其影为股影皆自上而下是名倒影凡测影之法以直影言之日晷自地平至天顶则所测在西自天顶至地平则所测在东其表一也以倒影言之日在东则测西表日在西则
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
解矩度表影
矩度何以由于表影也曰矩度之上方即直表右方即直影左方即横表下方即倒影无有二也前图之直表直横表横直影横倒影直矩度反是何也曰权线使然也日轮在半象限两表两影相等无较以矩度承之使日光穿两耳而过则权线垂于对角两表两影亦无较葢日轮在半象限权线亦在半象限然矩度两表两影之位尚无从别也日轮在半象限以上则直影短今以矩度承之权线垂于右方亦截句而使之短以是知上方为直表右方为直影也日轮在半象限以下则倒影短今以矩度承之权线垂于下方亦截股而使之短以是知左方为横表下方为倒影也曰权线之使然也曷故葢直表在地横表在墙其有定者也日之或髙或下以为其无定者也以有定待无定而影得焉矩度以耳承日因日光以为俯仰是矩度之表其无定者也而权线之下垂其有定者也以权线之有定切矩度之无定代日以为而影亦得焉是其两表两影之相反此测算之由生天然之巧亦不易之理也其度何以十二也曰用表或八尺或十二尺此十二所以识也非日行之度也右方之度何以自一而至十二下方之度何以自十二而至一也曰日下而直影长日上而直影销右方直影也日上而倒影长日下而倒影销下方倒影也倒影直影至十二不更长乎曰倒影过十二则直影直影过十二则倒影合用之而自足也其倒影直影相通之法详变影中
解物影
矩度为平方两表两影之句股何以分也【矩度直表为股直影为句横表为句倒影为股】曰前已论之详矣今试再以物影明之物为股影为句物高至影末为物与影之句股无较以矩度承之权线必垂于对角其句股亦无较也【第一图】如物高于影则股长句短以矩度承之亦必截直影而使与相应亦股长句短也【第二图】如物短于影则股短句长以矩度承之亦必截倒影而使与相应亦股短句长也【第三图】葢物大股也直表倒影小股也物影大句也直影横表小句也物高至影末大也权线小也此天然之妙合也今于权线所测之度分已定试将矩度转面而观之则小句股与大句股俨然无异也
<子部,天文算法类,算书之属,句股矩测解原,卷上>
解两影消长【即变影】
日在半象限以下影射倒影然直影非无影也试从倒影外斜引长之则仍遇直影日在半象限以上影射直影然倒影非无影也试从直影下斜引长之则仍遇倒影葢直影倒影合成一象限在象限内一消一长其消之分数即长之分数在象限外则倒影之一度为直影之一百四十四度二度为直影之七十二度三度为直影之四十八度四度为直影之三十六度五度为直影之二十八度又三十分度之四六度为直影之二十四度七度为直影之二十度又七十分度之四八度为直影之一十八度九度为直影一十六度十度为直影一十四度又百分度之四十一度为直影一十三度又一百一十分度之一十二度于直影仍为十二度【其法以矩度十二自乗得幂一百四十四即以所得之影度除之其解详后变影法中】若在几分度之几即将度照分分之以除矩幕【如五度三分度之二即将毎度分作三分五度为一十五分又加三分度之二共一十七分以除矩幕其矩幕一百四十四亦毎度三分之为四百三十二以一十七除之得二五四又一十七分之零二】直影于倒影亦然明乎此则直影倒影可变互用之其在矩度即权线之消长也
句股矩测解原卷上
钦定四库全书
句股矩测解原卷下余姚黄百家撰以影测高
以矩度承日使其光穿两耳而过视权线垂于何度何分若权线垂于对角则
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