实之半不可方 退方根商一百得方十余实三十二 三十二加五得四十八并前剰实之半得四十九末方得七 五除七减一与前方十较之合赢绌率得十三
尖之实 一三五七 一三五七 一三五七九一三五七九 一三五七九十一 一三五七
九十一 一三五七九十一十三
又设如 原数九十一 径五
倍数一百八十二 减四得一百七十八 二除一百七十八得八十九并二得九十一减一得九十 平方开八十一得九余实九方根得三 五除三减一与前方九较之合赢绌率并四得九
尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九
又设如 原数七十五 径五
倍数一百五十 减四得一百四十六 二除一百四十六得七十三并二得七十五减一得七十四 平方开六十四得八余实一十不可方 退方根商四十九得七余实二十五方根得五 五除五减一与前方较之合赢绌率得九
尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九
法外设如 原数四十一 径三
倍数八十二 平方商六十四得八 余实十八折半得九方之得三 五除三减一与八较之合赢绌率并二得七
尖之实 一三五 一三五七 一三五七第六开抽竒立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数竒者皆去之
先得径偶设如 原数一百二十四 径六
减四十得八十四 三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十 二縦方根八 八并二得十尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十
又设如 原数一百 径四
减十六得八十四 二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百 平方根十
尖之实 二四六八 二四六八 二四六八十二四六八十
先得径偶次条设如 原数一百五十四 径六
减五十八得九十六 三除九十六得三十二半之得十六 并九得二十五四因二十五得一百 半方根十并二得十二
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二又设如 原数八十二 径四
减二十六得五十六半之得二十八 二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十 二縦方根八并二得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
先得径竒设如 原数一百九十六 径七
减十六得一百八十 一百八十减五得一百二十一百二十并八为百二十八二縦方开百二十得十存余实八 六因八得四十八二縦方根得六与前方较之合赢绌率 六并六得一十二
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二二四六八十十二
又设如 原数一百六十六 径七
减十六得一百五十 一百五十减五得一百并八得一百零八 二纵方开九十九得九余实九以六因之不可为二縦方 退方根商八十得八余实二十八以六因之得一百六十八 二縦方商百六十八与前方较合赢绌率得十二
尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八二四六八十 二四六八十 二四六八十十二
又设如 原数一百十二 径五
减四得一百零八一百零八并四仍一百十二平方开百得十余实十二 四因十二得四十八二縦方根得六较前方合赢绌率六并四得十
尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十
又设如 原数九十四 径五
减四得数九十 并四仍九十四 平方开八十一得九余实十三以四因之不可为二縦方 退方根商六十四得八余实三十 四因三十得百二十二縦方除之较前方合赢绌率得十
尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十
法外设如 原数四十四 径三
五除四十四得八十八 带二縦方商八十得八余实以二因之不可复为带二縦方 带二縦方商六十三得根数竒 商四十八得根数六余实四十 二因四十得八十除带二縦方与前方较之合赢绌率得八尖之实 二四六 二四六 二四六八
第七准本章多乗方依立尖形推余尖
方尖准立尖设如 原数二十
一十二因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六 复方之四减一得三
尖之实 一 一四 一四九
抽偶立尖准立尖设如 原数四十六
三因数一百三十八 阙半縦平方根十二 复带一縦方之三 五除三 一得五
尖之实 一 一九 一九二十五
抽竒方尖准立尖设如 原数八十
三因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六复方之四 四减一得三倍之得六
尖之实 四 四十六 四十六三十六
立尖还准立尖设如 原数十五
六因数九十 带一縦方根九益一数倍之得二十复除带一縦方四 四减一得三
尖之实 一 一一二 一一二一二三
少广补开尖法覈原
开正尖全积二十法设各就本尖用之
平尖法一之一 尖一
倍数二 带一縦方根一
立尖法一之二 尖一
因数六 阙一縦立方根二 减一得一
倍尖法一之三 尖一
二除数五 进五作十除得一
方尖法一之四 尖一
因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根
再乘尖法一之五 尖一
二除数五 减原实余四 平方根二 复除带一縦方一
抽竒平尖法一之六 尖二
带一縦方根一 对数一全数二
抽偶平尖法一之七 尖一
平方根一
抽偶立尖法一之八原注尖内层数及层内诸数偶者尽去之 尖一
因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五抽竒立尖法一之九原注尖内层数及层内诸数竒者尽去之 尖二
因数六 阙一縦立方根二 减一得二之对数
抽竒偶数方尖法一之十 尖一
因数六 阙一縦立方根二 二减一即一
又尖四
因数二十四 阙一縦立方根三 三减一数二
抽偶再乘尖法一之十一 尖一
二除数五 阙半縦平方根一 复方之亦一
抽竒再乘尖法一之十二 尖八
二除数四 平方根二 复带一縦方之一 对数一全数二
抽偶立尖法原注尖内层数偶者去之二之一尖一
加二数十二 方体八 方面四 半方面应阙一縦今阙 二减一得一
抽偶立尖法原注本尖诸层内数偶者去之二之二 尖一
就位加五数一五 方体一 半方根五 五除一得二减一复一
又尖一 一
就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一复一
抽竒立尖法原注尖内层数竒者去之二之三尖一二
加二数三十六 方体二十七 方面九 縦限视本数径数及本数底半数应朒一数今空 三减一数二抽竒立尖法原注本尖诸层内数竒者去之二之四 尖二二
就位加五数六 阙一縦立方根二 二减一得一以五除之复二
又尖二
就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一亦一
方尖准立尖法七之一 尖一
加二数十二 带一縦方根三 三益一得四复方之得二 二减一即一
抽偶方尖准立尖法七之二 尖一
倍数三 阙半縦平方根二复带一縦方之一 二因一减一亦一
抽竒方尖准立尖法七之三 尖四
三倍数十二 带一縦方根三益一得四复方之得二二减一以二因之亦二 减一亦一
立尖还准立尖法七之四 尖一
因数六带一縦方根二 二益一得三倍之得六复除带一縦方得二 二减一即一
少广补遗
<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
钦定四库全书 子部六
庄氏算学 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案庄氏算学八卷
国朝庄亨阳撰亨阳字元仲南靖人康熙戊戌进士官至淮徐道是编乃其自部曹出董河防于髙深测量之宜随事推究设问答以穷其变因笔之于书其后人取残藁裒缉成帙中间大防皆遵
御制数理精蕴而参以几何原本梅氏全书分条采摘各加剖晰颇称明显末为七政步法亦本之新法算书而节取其要其于推步之法条目赅广缕列星罗无不各有端绪恭案
御制数理精蕴线面体三部凡三十余卷几何原本五卷梅氏全书卷帙亦为浩博学算者非出自专门不能骤窥蹊径今亨阳撮举精要别加荟萃简而不漏括而不支可为入门之津筏虽未能大有所发明而以为学者启之资则殊有禆益矣乾隆四十六年十月恭校上
总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅
总 校官【臣】陆 费 墀
钦定四库全书
庄氏算学卷一
淮徐海道庄亨阳撰
梅勿庵开方法
一平方
平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根方者初商也初商不尽则倍初商之根为廉法除之得两廉又以次商为隅法自乘得隅以补两廉之空而成正方形是谓次商又不尽则合初商次商得数倍之为防法除之得次两廉又以三商为隅法自乘得隅以补次两廉之空而成正方形自此而四商五商仿而加之能事毕矣
凡减隅积皆视其隅数为何等隅数是单则积止于单位隅数是十其积止于百位百止于万位千止于百万位万止于亿位每隅法大一位则隅积大两位所以初商减积止初防次商减积止次防三商四商五商皆可以类推也【自单位作防起每隔一位防之有二防商数有十三防商数有百也】
凡初商得一二三四皆书于防之上一位商得五六七八九皆书于防之上两位其故何也五以上之廉倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同
大约所商单数必在亷法上一位乃法上得零之理也开方有实无法廉法者乃其法也
次商用归除凡归除得数皆书于筹之第一位今须看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商得数对余实首一位书之若第一位是空则以次商得数对余实上一位书之虽不离筹之第一位而所商之有空位无空位出矣立方审空位之法亦然
一立方
平方则一方次合两廉一隅以成方面立方则一方次有三平廉以辅于方之三面又有三长廉以补三平廉之隙又有小方隅以补三平廉之隙推之三商四商皆然而方体成矣
三平廉长濶相同皆如初商数三长廉长如初商数其两头髙与濶则如次商数
立方三位作防者自乘再乘之积止于三位也初商防在首位则独商首位防在次位则合商两位在三位则合商三位也凡初商得一数者书于防上一位得二三四五者书于防上二位得六七八九者书于防上三位其故何也盖开方以廉为法而平方只有二廉其廉之积数只有进一位故一进而足立方则有三平廉而其积数有进一位者有进两位者故必立三等也要其豫为续商之地使所得单数居于法上之一位则同方单一其廉法单三若方单二则廉法一十二变为十数进一位矣故一用常法二用进法也方单五其廉法七十五若方单六则廉法一百零八又变百数进两位矣故五用进法而六以上用超进之法也
三平廉用自乘者三平面积也三长廉则未有积故与平廉异也次商数自乘以乘长廉者每长廉之一数各分次商自乘之数也
一平方带纵
平方带纵者长方面也初商得平方与纵方纵方之濶如平方之数长则加所设纵之数次商得廉纵一廉二隅一盖倍廉不倍纵一为带纵之廉一为不带纵之廉也用法与平方相似但初商时必以初廉得数乘纵数为纵方积然后合两积以减原实为稍异耳
若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商位纪○而纪其改商之数于○下若次商者然既为次商则减积亦尽于第二防
初商得五至得九皆书于防上二位不论纵之多寡若得四以下则视纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上则亦进书于防之上两位【如初商三而纵有四初商四而纵有四之类】若纵数少虽加之而不满五则仍书于防之上一位【如初商四而纵只有一初商六而纵只有二之类】搃而言之所商单数皆书于廉法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为廉法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽
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