一十八即方靣也
通曰次商与初商不同须视实内除亷外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外余实尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止余六十三则不用八而用七矣
归除开平方式积五万四千七百五十六问平方一靣几何曰二百三十四术置实盘中初商二百置实首左位另置二百于右左右相呼曰二二如四除实四万余实一万四千七百五十六以右二百倍作四百为法归除之呼曰四一二余二逢四进一十得三十为次商置右四百之下呼曰三三如九除实九百余实一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十为法归除之呼曰四一二余二逢八进二十得四为三商置右六十之下呼曰四六二十四除实二百四十呼曰四四一十六除实十六实尽变为二百三十四即方面也
笔算开平方法
式积贰千壹百壹十防万捌千肆百○肆问平方一靣几何曰四千六百○二术列实八位从末位肆下作防隔位一防共四知有四回商数也实首防在次位以贰壹相连作二十一者然也应用自乘有几十几数者为商今初商用四注初防下亦纪格右相呼四四一十
六于实贰千壹百内除一千六百
抹去贰壹变伍完首叚矣余实伍
百壹十防万捌千肆百○肆第二
叚实至次止曰伍壹防先立亷
法倍初商四为八注实壹下空次
防一位以待隅法乃商伍十壹内
【作五十一】有六囬八即用六为次商纪初商四右亦注六于次防下为隅法如八十六者然也乃与次商相呼先呼六八除实四百八十抹去伍壹变叄又呼六六除实三十六万抹去叄防变壹完第二叚矣余实壹万捌千肆百○肆第三叚实至三防止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二为亷法注九于实壹下二于实捌下空三防一位以待隅法壹内不可除九遇此则知商有○位竟作○于商数四六之右以作第三商完第三叚矣余实如故第四叚实至四防止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十为亷法注九于实捌下二于实肆下○于实○下空四一位以待隅法乃商壹十捌内【作一十八】有二囬九即用二为四商纪商数四六○之右亦注二于四防下为隅法如九千二百○二者然也乃与四商相呼先呼二九除实一万八千抹去壹捌又呼二二除实四百抹去肆又呼二二除实四数抹去肆实尽完四叚矣则格右之四六○二即方面四千六百○二也
通曰初商防在实首者三以前用一八以前用二九则当用三防在实首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九满百则防又在实首矣
用命分式 术倍前商数加一为母余实为子依法命之如设积六十开方初商七除实四十九余实十一今倍前商七作十四加一得十五为母以余实十一为子命曰七又一十五之一十一而缩试并初商及分数自之用竒零整带零与整带零乗法【详笔算下】得二二五之一三四五六以一三四五六为实以二二五为法除去四十九囬二二五余二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之内尚有十囬二二五如亦归整并四十九为五十九又二二五之一八一则不及原积六十矣故曰缩若倍初商不加一为母命为十四之十一试自之得六十又一九六之一四一则又过原积而盈矣举成数可也又术如开方不尽实又欲得其小分则通为小数须于余积之右加两○化一为百也如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四○化一为万开得根数命为一千分之几分也如设积六十巳商七不尽实十一欲得其细分于右加六○是十一化为一千一百万也如法开之又得商七四当命为一千分之七十四也
竒零开平方式 术凡开方不尽实用命分第一术又不尽者用盈不足对稽可也如实二十者初商四除实十六余实四依命分法立子母化初商用整带零与整带零乘法得八十一之一千六百以小除大当以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一【一千六百内有十九囬八十一余六十一】又不尽者八十一之二十必须另立一法【满八十一则归整一数止得六十一尚余二十】用盈不足对稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五对前四又九九之四【前四者初商也九之四者倍初商加一为母九余实为子曰九之四】而以少减多【以五为原数以四又九之四为减数】用竒零整内减整及零法余九乏五乃以前四零九之四倍之为八零九之八并入减余九之五除去整八在外
以九之五与九之八相并用竒零同母加法归整得一
零九之四乃以在外之整八并
入一为九得九零九之四也又
以此九零九之四为除数以前余未尽八十一之二十【余实也】为原数用竒零整带零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又
以此除得数与前九之四十相并【九之四十者倍初商四加一共九为母余
实四为子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再
并子四得四十是以四零九之四化为九之四十也】用竒
零异母加法子母互乗并母并
子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也归整以少除多母数少为法除二十七万七干○二十得四尚余二万九千一百六十是为四零六一九六五之二九一六○也约之得十七分之八乃知实二十者开方得四零十七分一之八也
通曰以开方得四化之每一数作十七共化为六十八
又并入八得七十六为平方一面
之数也自乗得五千七百七十六
为方积实二十亦化之每一数作
十七之自乗共化为五千七百八十较之方积则多四也即以初商四后之余实四化为一千一百五十六以二亷及隅较之先并八与十七相乗之数八得一千○八十八又并八自乗共得一千一百五十二又少四也则余实有终不能尽者矣
又术以四开二十不尽今用四零二之一以求之倍初商四得八为母以不尽实四为子曰四零八之四约之
得四零二之一化之得二之九
【以四乗母二得八加子一共九故化为二之九】母子各
自乗得四之八十一归整以母四除子八十一得二十零四之一则实不足矣另置
四之一为实将前四零二之一倍数得九为法除之以九立一为母曰一之九倒位曰九之一与四之一相乗母乗母子乗子得三十
六之一又将三十六之一与前二之九相并两母相乗得共母七十二母子互乗得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相减于三百二十四内减二余三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二为法除三百二十二归整得四零七十二之三十四约为四零三十六之一十七
筹算开平方法【见前筹算】
平方积较和开法
平方长濶不等者以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和
积和求较式积八百六十四长濶和六十问长多濶几何曰十二术以和六十自乗得三千六百四因积得三千四百五十六相减余一百四十四平方开之得一十二为长多于濶之较
通曰积者勾股相乗之直积也此乃积与勾股和求勾股较之法
积较求和式积八百六十四濶不及长十二问长濶和共几何曰六十术四因积得三千四百五十六不及十二自乗得一百四十四相并得三千六百平方开之得六十为长濶和
通曰此乃积与勾股较求勾股和之法衍此二式以起后法
平方积较求濶
积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二一以较为纵方并纵入方曰带纵开平方一以较为减积以方乗减曰减积开平方
一带纵开平方法
式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
十四术列实定防以带纵壹十贰随
实首列之初商二纪格右亦列首防
下并纵首壹为三抹二壹而注三相
呼二三除实六首位实捌变二又呼
二贰除实四次位实陆变二完首余实二百二十肆倍初商二为四作亷法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以亷四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末防下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位余实二又呼四六除实二十四次位余实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即濶二十四也
又式 术如实贰十叄万○肆百纵防百贰十初商可用四但纵首防并四为十一实首贰叄无四十四可除
遇此须减商作二【三亦多故用二】纪格右亦注
首防下并纵防为九抹二七而注九
相呼二九除实一十八抹贰叄变五
又呼二贰除实四五变四○变六完
首叚余实四万六千肆百倍初商二作四为亷法列实○下又列纵于亷下次商四纪格右亦注次防下为隅法以亷四并纵防为十一抹四防而注一左位又注一【此十也】以隅四并纵贰为六抹四贰而注六乃以次商四呼首一曰一四除实四抹四又呼次一曰一四除实四六变二又呼四六除实二十四二肆皆抹去实尽尚有末防未开当于格右纪○以作三商则知直方濶二百四十长九百六十也
通曰以濶并纵得长也
又式 术若实数首位寡而带纵数多不能开者虽防在首位亦退一位列商纵而减一商也如实壹万陆千壹百贰十捌带纵防十贰数多即减一商【三防止两商也】退列纵于次防下起初商九纪格右亦注次防下并纵防为十六抹九防而注六左位注一相呼一九除实九抹
首壹陆变七又呼六九除实五十
四七变一壹变七又呼贰九除实
一十八七变五贰变四完首倍
九得一十八为亷法列之退列纵
次商六纪格右亦注末防下为隅法以亷八并纵防为十五抹八防而注五左位进一并亷一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得濶九十六长一百六十八又式 术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所防叚位开之如实叄万捌千肆百带纵贰百首位叄自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叄完首倍一作二为亷注次位并纵贰为四次商二纪右注次防下为隅呼除实尽尚剩一防未开商后加一○得濶
一百二十长三百二十
又式 术若防开位少而带纵位反多【加三防该百而带纵至千之类】以初商置首防下以带纵大数进左列之【必首叚系二位者方有此例】如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叄十遇此则列纵亦须以百随百而进千矣初商一纪右注首防下
次纵伍当随一下列之【初商一百也次纵伍亦百
也】首纵壹进列首位下以初商一并
纵伍为六先与纵壹呼一壹除实壹
再呼一六除实六再呼一三除实三
完首倍初商一作二为亷注三位实下带纵壹退从次位起列伍于亷二下并为七次商二纪右注次防下并纵叁为五依法与次商呼除又加一○得濶一百二十长一千六百五十
又式 术带纵并商数有共一十者进位再并可也如
实防万贰千纵肆百捌十防在
首位初商一纪右注首防下纵
首随列以一并纵肆为五呼除
毕余实一万四千倍初商作二为亷注次位纵亦次列并二肆为六次商二纪右注次防下先呼二六除十二首位余实一抹去次位余四变二然后以商二为隅者并纵八为一十进位注一本位注○乃呼一二除二实尽又加一○得濶一百二十长六百
通曰旣列次商带纵先以亷二并纵肆为六又以隅二并纵捌为一十进一于所并六下以一六并为七然后以次商二与七相呼二七除一十四抺首位余实一次位余实四亦便
又式 术若实数纵数商数俱多者襍糅易淆务须先将带并之数逐一归并各注本位之下乃以呼除始不
紊乱如实壹十陆万
陆千肆百陆十肆纵
壹千○捌十捌初商
一纪右注初防下三
防知初商系百位以纵百位○随列初商下列纵壹千于进位初商一与纵○无并仍是一先以右一与纵壹呼一壹除一又以右一与商一呼一一除一又以右一与纵捌呼一捌除八又以右一与纵尾捌呼一捌除八完首余实四万七千六百陆十肆倍初商得二为亷注三位实下退列纵数以相并亷二与纵○无并仍是二次商三纪右注次防下并纵捌为一十一改三捌为一进位○下注一又改二○一为三并毕须以最下横列之壹三一捌为主皆与右三相呼除实也除毕完次叚余实八千一百二十肆倍前商一三作二十六为亷空末防位以待隅注而以六注第五位实下二注第四位实下退列纵数以相并先以亷六并纵捌得一十四注四于捌下进位注一又以亷首二并所进一得三改二○一为三三商六纪右注末防下并纵末捌得一十四改六捌为四进位四加一改作五并毕以最下横列之壹三五四为主皆与右六相呼除实也除毕实尽得濶一百三十六长一千二百二十四
通曰凡图最上为余实最下为并纵并纵者并亷隅纵为开方之法数也右七式用前积较求和之法得和减纵半
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