之即濶然其变不可不知耳求长亦然
二减积开平方法
减积者于实内减股之积以就其方也【股即长也】式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问濶几何曰二
十四术列实防位另将不及壹
十贰为减积以商数乗之而列
乗数初商二纪右注首防下乗
减积得贰十肆随位列之相对减原积首位实捌减贰余六次位实陆减肆余二余实六百二十肆然后以初商呼除二二除四首位余实六变二完首叚余实二百二十肆倍初商二得四为亷注次位实下次商四纪右注末防下为隅以隅乗减积得肆十捌亦随位列之相对减余实首次两位余实二十二减肆首位二变一次位二变八次三両位余实八十肆减捌次位八变七三位肆变六共余实一百七十六然后以次商与亷隅呼除四四除一十六抺首位余实一次位七变一又呼四四除一十六抺次位一三位六实尽得濶二十四通曰凡定商数须减积后余实视有商数之自乗否勿以原实定商也初商列初防下初乗首数亦随初防下列之二叚亷退初商一位则次乗亦退一位也
平方积较求长
积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二以较为负纵乗上商以添积曰负纵益积开平方以较为减纵而以负纵减方法曰带减纵开平方
一负纵益积开平方法
式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三
十六术列实防位另列不及壹
十二为负纵而初商则约所増
负纵之乗商之如首位捌开法
宜用二因有负纵之乗乃商三
纪右注首位下为方法而以乗负纵得叄十陆注叄于首位陆于次位以并原积捌陆【作八十六】得一二二【作一百二十二】次位陆变二首位捌变二进位置一【实首左位】益积得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚余实三百二十肆倍三作六为亷注次位次商六纪右以乗负纵得防十贰退位列之【退初乗位】以并余积三二肆【作三百二十四】得三百九十六末位肆变六次位二变九另置一算为负隅以次商六乗之仍得六为隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六实尽得长三十六
通曰甲戊己丁形原积八
百六十四也戊乙丙己形
益积四百三十二也甲戊
濶二十四甲乙长三十六
戊乙乃长濶之较十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股
即长也初商三十自乗得九百
二亷濶六长三十又各相乗得
一百八十隅六自乗得三十六
又式 术直积贰十叄万○肆
百长濶较防百贰十列实防位
列较为负纵初商九【九百】纪右注
首防下为方法以乗负纵得陆
肆捌【六万四千八百】以益积随首列之共加得实为八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚余实六八肆○○倍九得一十八为亷注八于次防之进位注一于首防下次商六【六十】亦乗负纵得肆叄贰【四千三百二十】以益余积退位列之共加得余实为一一一六○○又以次商六乗负隅一仍得六注本叚防下为隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六实尽尚余一防作○得长九百六十
二带减纵开平方法
式直积捌百陆十肆濶不及长壹十贰问长几何曰三十六术列实另列不及壹十贰为负纵初商三【三十】纪右以负纵减之余一十八挨注首防下为方法先呼三八除二十四八上陆变二进位捌变六后呼一三
除三一上六变三【先呼一三亦可】余实三百二十肆乃于另列初商三右加○【作三十】以并方法得四十八为亷注次位次商六纪右注末防下为隅而并入亷内得五十四六八并改四进位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四实尽得长三十六 若商数减后首位多于实首亦照例退位
通曰初商三十减纵得十八相乗除积五百四十次商六并方法为亷四十八【二亷共长四十八也】相乗除积二百八十八隅六自乗除
积三十六
又式有两方共积若干第云以小方之一靣乗大方之一面共若干问两方面各几何者如大小二方共积六千五百二十九以小方大方各一边相乗得叄千壹百贰十先倍两方乗积得六千二百四十以减共积余二百八十九平方开之得较壹十防乃列二方乗数为实以较为负纵初商六【六十】纪右以负纵减之余四十三注初防下为方法呼初商四六除二十四三六除
一十八余实五百四十又于初商六右加○【作六十】以并方法得一百○三为亷注下【以末三齐次防止】次商五纪右注尾防为隅并入亷内共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十实尽得大方面六十五以较一十七减之得小方面四十八
通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁边乗丁癸边得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以减共积乙壬戊癸甲磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而
后减之余乙子丑辛形为较羃也甲乙六十五减甲子四十八余乙子一十七
平方积和求濶
积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅其法有二或益隅于积乗负隅为方法又乗方法以益积曰带纵益隅开平方或减隅于积乗负隅以减纵命余纵以除实曰带纵负隅减纵开平方
一带纵益隅开平方法
式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四
术列实以和为带纵初商二【二十】纪右
注首防下自乗得四百为负隅以益
积共加得实一千二百陆十肆乃以
初商呼带纵曰二陆除实一千二百
余实陆十肆倍方得四为亷注次位次商四纪右注尾防为隅以次商乗亷四十得一百六十又以次商乗隅四得一十六皆并入余实共加得余实二百四十乃以次商呼带纵曰四陆除实二百四十实尽得濶二十四
通曰甲乙丙丁形原积也丁丙
己戊形益隅方积也子方初商
二十自乗得四百丑寅二亷各
长二十与次商四相乗各得八十共为一百六十卯隅四自乗得十六共益积五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四为濶乙丙三十六为长乙至己共六十为和
又式 术又如直积贰万壹千陆百肆十捌长濶和贰
百玖十陆列实防位置和为
带纵初商一【一百】列右为初方
法注首防下自乗得一万以
益积首位贰变三乃以初方
法呼带纵除实一贰除二首位三变一一玖除九次位壹变二进抺一一陆除六三位陆变○余实二千○肆十捌倍方得二为亷注退位次商三纪右为次方法注次防下为隅亷隅共二百三十以乗次方法三十得六千九百益入余积三上○变九二上二变八共加得余实八千九百肆十捌乃以次方法呼带纵贰三除六二上八变二三玖除二十七三上九变二进抺二三陆除一十八四位肆变六进抺二余实六十捌又倍次方法得六为次亷注退位【第四位也】并入前亷二百得二百六十三商二纪右为三方法注尾防下为隅次亷隅共二百六十二以乗三方法二得五百二十四益入余积尾捌变一进位六变九又进位加五共加得余实五百九十二乃以三方法呼带纵二贰除四二上五变一二玖除一十八六上九变一进抺一二陆除一十二实尽得濶一百三十二
二带纵负隅减纵开平方法
式直积捌百陆十肆长濶和陆十问濶几何曰二十四
术列实防位置和为纵方初商二纪
右注首防下以乗负隅一仍得二为
方法以减纵陆○余四○随首位注
之呼初商二四除八抺捌余实陆十肆倍方二得四为亷注退位亦乗负隅一仍得四【四十】以减纵陆○余二○注下次商四纪右注末防下为隅又以隅四减余纵二十余一十六附注乃与次商相呼一四除四四六除二十四实尽得濶二十四 或初商除实讫即以初商再减余纵以所余为纵方以次商再减为下法亦可盖倍初商为亷以减原纵与以初商减余纵之余数相同即可不立亷矣
通曰甲乙癸子全形乃和与濶相乗之形也内甲乙丙
己戊丁磬折形为原积此外
皆负积也初叚减壬癸纵二
十次叚减丙辛纵二十又减
辛壬纵四余乙丙纵十六乃原积形内之数故不减今以原积形内之干形补原积形外之坤形而成甲乙辛寅形得濶二十四长三十六
又式 术列实陆万玖千叄百陆十长濶和防百捌十贰为纵初商一【一百】乗负隅一仍得一以减纵防余六随首列余纵六捌贰与初商相呼一六除六一捌除八一
贰除二余实一千一百陆十倍方得
二为亷【二百】注退位以减纵余五捌贰
退位附列而纵余五多于实余一遇
此纪○于右作次商倍方一○得二
为亷【二百】注次防下以减纵余五捌贰退位附列三商二注尾防为隅以余纵与次商相呼二五除一十二捌除一十陆实尽得濶一百二十
通曰纵尾贰须先以隅二减之纵余止五捌○也又式 术若以积与虚长濶共若干而欲求其濶及长者如直积捌百陆十肆三长五濶共二百二十八求濶者以三乗直积得贰千伍百玖十贰为实【三长原有三积故以三乗】五为负
隅【暗添五濶之积】以共贰百贰十捌为带纵列实防位初商二乗负隅五得一十【一百】以减纵首贰余一随首列余纵一贰捌与初商相呼一二除贰二贰除四二捌除一十六余实三十贰又以初商二乗负隅五得一十【一百】减余纵首一止余纵贰捌【即倍方为亷也】次商四乗负隅五得二十再减余纵贰十止余捌注末防下以呼次商四捌除三十贰实尽得濶二十四
如右式求长者以五乗直
积得肆千叄百贰十为实
以三为负隅以共贰百贰
十捌为带纵初商三以乗负隅三得九【九十】以减纵余纵一百三十捌挨注首位下与初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四余实一百八十复以初商三乗负隅三得九【九十】以减余纵止余四十捌次商六亦乗负隅三得一十八以减余纵止余三十注余实下与次商相呼三六除一百八十实尽得长三十六
又式 术又有以积与虚长濶和较共若干求濶及长者如直积八百六十四一长二濶三和四较共叄百壹
十贰数乃约三和自具三长
三濶以并一长二濶共四长
五濶又以四较益濶为四长
共得八长而余一濶求濶者以八长乗直积得陆千玖百壹十贰为实以一濶为负隅以共数为带纵初商二以乗负隅一仍得二【十也】以减纵余纵二百九十贰列实下以呼初商二二除四二九除一十八二贰除四余实一○七贰又以初商二乗负隅一得二十以减余纵止余二百七十贰次商四又乗负隅一得四以减余纵止余二百六十八列余实下与次商相呼除实尽得濶二十四 求长者以一濶乗直积为实以八长为负隅也当用翻法详后
又式 术又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶者如直积二千三百五十二只云长取八之五濶取三之二并得六十三以两母互乗三八得二十
四以乗并得之六十三得壹千
伍百壹十贰为带纵而以长母
八乗濶子二得十六为濶率以
濶母三乗长子五得十五为长
率则知此带纵数内具有长十五濶十六也求濶者以长一十五乗直积得叄万伍千贰百捌十为实以濶一十六为负隅初商四【十也】乗负隅得六百四十以减纵余纵八百七十贰注实下与初商相呼四八除三十二四七除二十八贰四除八余实四百又以初商所乗隅算之六百四十减余纵止余二百三十贰次商二乗负隅得三十二亦减余纵止余二百列余实下与次商相呼二二除四实尽得濶四十二以除直积二千三百五十二得长五十六
通曰以长十五乗积为实有三防而直积之二三五二止两防仍以直积定商位故知初商为十也余纵列位常随实首今纵八多于实首三故照例退位
平方积和求长
积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方也
带纵负隅减纵翻法开平方法
式直积捌百陆十肆长濶和陆十问长几何曰三十六术列实以和为纵方一为负隅初商三乗负隅仍得三十以减纵余三十列实下与初商相呼三三应除九百
【三十其三十也】而实数不足遇此则翻列九
百于原积之上而以原积捌百陆十
肆减之余负积三十六即为余实再
以初商乗负隅之三十减余纵减尽乃约余实得次商六以乗负隅一仍得六注尾防呼次商六六除三十六
实尽得长三十六
通曰己丙丁戊形初商余纵相乗之
九百也内减去己壬庚辛丁戊磬折
形原积八百六十四余壬丙辛庚形
三十六在原
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